2009届苏州数学圆锥曲线大题训练
1、设双曲线：
的焦点为
,
.离心率为.
（1）求此双曲线渐近线
,
的方程；
（2）若
,
分别为
,
上的动点，且2
,求线段
中点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
2、抛物线
上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积.
3、如图：直线L：
与椭圆C：
交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。
（1） 求证：椭圆C：
与直线L：
总有两个交点。
（2） 当
时，求点P的轨迹方程。
（3）是否存在直线L，使OAPB为矩形？若存在，求出此时直线L的方程；若不存在，说明理由。
4、已知圆锥曲线
的一个焦点为
（1，0），对应这个焦点的准线方程为
，又曲线过
，AB是过F的此圆锥曲线的弦；圆锥曲线
中心在原点，其离心率
，一条准线的方程是
。（1）求圆锥曲线
和
的方程。（2）当
不超过8，且此弦所在的直线与圆锥曲线
有公共点时，求直线AB的倾斜角
的取值范围。
5、正方形的一条边AB在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长.
6、如图，已知点
，
直线
，
为平面上的动点，过
作直线
的垂线，垂足为点
，且
．
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
的直线交轨迹
于
两点，交直线
于点
，已知
，
，求
的值；
圆锥曲线大题参考答案
1、解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：
解得a2=1,所以双曲线的方程为
，所以渐近线L1,L2的方程为
和
＝0
（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以
，又2
所以
=10
设A在L1上，B在L2上，设A（x1 ，
，B(x2，－
所以
即
设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝
，y＝
所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2
y
所以
整理得：
所以线段AB中点M的轨迹方程为：
，轨迹是椭圆。
2、解：由已知得
，不妨设点A在x轴上方且坐标为
，
由
得
所以A(1，2)，同理B(4,-4), 所以直线AB的方程为
.
设在抛物线AOB这段曲线上任一点
，且
.
则点P到直线AB的距离d=
所以当
时，d取最大值
，又
所以△PAB的面积最大值为
此时P点坐标为
.
3．解：(1)由
得
椭圆C：
与直线L：
总有两个交点。
(2)设
,
,
,
与
交于点
，则有
即
，又由（1）得
，
得
（3）
将（3）代入（2）得
点P的轨迹方程为
（3） 由
当
时，这样的直线不存在；当
时，存在这样的直线，此时直线
为
4、解：⑴过P作直线x=-1的垂线段PN.
曲线
是以
为焦点，x=-1为准线的抛物线,且
.
曲线
；
依题意知圆锥曲线
为椭圆，
.又其焦点在y轴上，
圆锥曲线
：
（2）设直线AB：
,
.由抛物线定义得：
，
又由
得
，其
时，
。
依题意有
即
，则
直线AB的倾斜角
。
5、解：设CD的方程为y=x+b,由
消去x得y2-y+b=0，设C(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴｜CD｜ =
=
，又AB与CD的距离d=
,由ABCD为正方形有
= 
,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为3
或5
.
6、解法一：（Ⅰ）设点
，则
，由
得：
，化简得
．
（Ⅱ）设直线
的方程为：
．
设
，
，又
，
联立方程组
，消去
得：
，
，故
由
，
得：
，
，整理得：
，
，
．
解法二：（Ⅰ）由
得：
，
，
，
．
所以点
的轨迹
是抛物线，由题意，轨迹
的方程为：
．
（Ⅱ）由已知
，
，得
．
则：
．…………①
过点
分别作准线
的垂线，垂足分别为
，
，
则有：
．…………②
由①②得：
，即
．
